2018 年黑龙江预赛 · 第 15 题

解答

对右支，从右焦点沿任一固定射线最多有一个交点，因为焦半径式为 $r=b^2/(a-c\cos \theta )$。因此不同的 $P,Q$ 分处 $F_2$ 两侧。由 $PQ\perp P{F}_1$，三角形 $F_{1}PQ$ 在 $P$ 处直角。设 $P{F}_1=12t$，则 $PQ=5t,F_{1}Q=13t$。右支焦半径差给 $P{F}_1-P{F}_2=Q{F}_1-Q{F}_2=2a$，相加并用 $P{F}_2+Q{F}_2=PQ$，得到 $20t=4a$，所以 $t=a/5$，$P{F}_2=2a/5$。三角形 $F_{1}P{F}_2$ 仍在 $P$ 处直角，故 $4c^2=(12a/5{)}^2+(2a/5{)}^2$，得到 $\boxed{e=\sqrt{37}/5}$。