2023 年福建预赛

解答

椭圆上下顶点为

对椭圆上异于两顶点的点 $X=(x,y)$，两向量 $\overrightarrow{X{B}_1},\overrightarrow{X{B}_2}$ 的叉积绝对值为 $4|x|$，点积为

故

设直线 $l$ 为

代入椭圆并乘以 $8$，得到交点横坐标满足

由（1）和题设，$|x_Q|=2|x_P|$。由于 $A$ 在椭圆下方，同一条非竖直割线的两个交点位于从 $A$ 出发的同一射线上，故两横坐标同号。令

由（2）的根和、根积，

消去 $t$ 得 $m^2=9/14$。所以

为核验第一问，取正号时

直线 $B_{1}P$ 与 $B_{2}Q$ 可分别参数化，联立后得到交点 $R$ 的纵坐标为

因此

上述特殊点计算还不能证明第二问。现取任意符合题设的割线，记两交点横坐标为$p,q$。 由式（2），$1/p+1/q=\sqrt{2}m$。令$u,v$分别为$B_{1}P,B_{2}Q$的斜率，则

所以$(2+\sqrt{2})u+(2-\sqrt{2})v=4m-2\sqrt{2}(1/p+1/q)=0$。 两直线为$y=ux-2,y=vx+2$，故$y_R=2(u+v)/(u-v)=-\sqrt{2}$， 对全部割线都有$\overrightarrow{AR}\cdot \overrightarrow{B_1{B}_2}=\boxed{4\sqrt{2}}$。