培玉 · 一试
2015 年山西预赛 · 第 10 题
F3解答题平面几何综合
如图， 是 外接圆 上的点，满足 。 是 上的任意一点。若直线 交直线 于 ， 交直线 于 ， 交直线 于 ，证明： 三点共线。
作答
这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。
解析
提示
平行弦的另一端点可在合适的单位圆坐标中表示为共轭。
思路
用两条弦的直线方程求交点后，交点实部会成为关于A、B、C的对称式，所以三个交点共用一条垂直直线。
解答
将圆化为单位圆，并令公共弦方向竖直。相应复坐标满足 、、。对D而言，直线BC和直线PA1的方程分别是
消去共轭项，得到
取共轭、利用各圆上点模长为1，又得
相加可见
右边关于a、b、c对称，所以对E、F也完全相同。题设各交点唯一存在时，；否则两条求交弦的方程系数成比例，只能平行或重合，不能给出唯一交点。因而D、E、F的实部相等，位于同一条竖直直线上，即
复核
本证明在题设各直线、交点有确定意义时进行。P与某个端点重合导致连线无定义、或求交线平行的情况，不构成题设指定的交点配置。公式没有假定D、E、F在三边内部。
方法总结
同向平行弦适合把公共方向置为竖直，再以单位圆的共轭关系求交；对称的实部表达式能一次证明三点共线。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
先把平行弦方向统一后用单位圆共轭表示另一端点，再联立两条弦线消元；须识别三个交点实部表达式的对称性，并说明唯一交点条件排除了退化分母。
已记下，谢谢！