培玉 · 一试
一试训练题
F2填空题不等式的证明
x₁、…、xₙ∈(0,1)，循环记xₙ₊₁=x₁。求Σlogₓₖ(xₖ₊₁²)最小值。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
负对数换元形成正比值的循环乘积。
解答
令a_k=-ln x_k>0，则log_(xk)(x_(k+1)²)=2a_(k+1)/a_k。n个正比值乘积为1，由均值得和≥n，所以原和≥2n。所有x_k相等时达到。 所求为 。
复核
即使n=1也成立；真数和底数均正且底数不为1。
方法总结
负对数换元形成正比值的循环乘积。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
负对数换元形成正比值的循环乘积。
已记下，谢谢！