抛物线

对 $y^2=4ax$（$a>0$），焦点为 $(a,0)$，准线为 $x=-a$，曲线上点到焦点的距离为 $x+a$。例：$y^2=12x$ 的点 $(3,6)$ 到焦点 $(3,0)$ 的距离为 $6$，也等于到准线的距离。若以焦点为圆心作准线的切圆，其半径是 $2a$，而不是 $a$。使用 $y^2=2px$ 的记号时须换算 $a=p/2$。

在 $x^2=4y$ 上用 $T(t)=(2t,t^2)$，切线为 $y=tx-t^2$。两个不同参数 $u,v$ 的弦为 $y=(u+v)x/2-uv$，两切线交点为 $(u+v,uv)$。例：$u=1,v=-2$ 时，弦为 $y=-x/2+2$，切线交点为 $(-1,-2)$。横向开口的抛物线可交换坐标后重推，不能照搬同一斜率公式。

对 $y=x^2$ 上的两点，令横坐标为 $m-d,m+d$，其中 $d>0$，则中点为 $(m,m^2+d^2)$，弦长为 $2d\sqrt{1+4m^2}$。例：$m=1,d=2$ 给端点 $(-1,1),(3,9)$，中点 $(1,5)$，弦长 $4\sqrt{5}$。中点轨迹的方程只是必要关系，还须能反求 $d>0$，不能把零长弦也纳入。

对 $y=x^2$，过 $H(h,k)$ 的切点横坐标满足 $t^2-2ht+k=0$。两个不同实切点要求 $h^2>k$；例：$H=(0,-4)$ 给切点参数 $\pm 2$，而 $H=(0,0)$ 只给重参数 $0$。轨迹方程由消元得到后，还要检查参数是否等于被禁止的固定点、弦是否竖直或退化，以及回代是否真有两个交点。

固定两点 $U,V$，若 $N$ 是 $U$ 到某条过 $V$ 直线的垂足，则 $(N-U)\cdot (N-V)=0$，落在以 $UV$ 为直径的圆上。例：$U=(0,2),V=(2,0)$ 给圆心 $(1,1)$、半径 $\sqrt{2}$。端点是否能取取决于允许的直线族；$N=V$ 可以由过 $V$ 且垂直 $UV$ 的直线实现，不应仅因圆周角写不出便删掉。

外心 $H$ 对两个顶点 $A,B$ 等距，等价于 $2H\cdot (B-A)=|B{|}^2-|A{|}^2$。例：三角形顶点为 $(0,0),(2,0),(0,4)$ 时，外心为 $(1,2)$。圆与 $x^2=4y$ 联立时，代入 $(2t,t^2)$ 得四次式且三次项为零，所以四个参数按重数计算的和为零；不能因此就认定有四个不同实交点。

三点面积为 $\frac{1}{2}|\det (B-A,C-A)|$。例：$A=(0,0),B=(2,1),C=(-1,3)$ 给行列式 $7$，面积 $7/2$。若底边所在直线与过第三点的已知直线平行，底高就是两平行线距离。参数化之后再约公共因子时，先证明它不为零；面积比的分母若退化，原问题也没有定义。

几何条件消成正参数后，不等式的等号点仍须可还原。例：$u+9/u$ 在 $u\ge 1$ 上的最小值为 $6$，由 $u=3$ 达到；改成 $u\ge 4$ 后最小值为 $25/4$，在边界取到。若约束为 $u>3$，则只有下确界 $6$，没有最小值。弦端点不同、切线存在和弧段端点都会改变这一步。