易混 2025 年广西预赛 · P006244
两题都先换出一个辅助数列，但能否直接比较辅助量的大小，取决于外层函数在实际范围是否单调。外层跨过二次函数转折时要比较穿过转折的相邻项；外层严格单调时，才能把原最值完整转给内层。
离散点没有取到连续驻点时不能照抄连续最值；先证明外层在全部实际范围的单调区间，再定位整数下标。
培玉 · 一试
2023 年贵州预赛
F3填空题数列的性质
若数列 的通项公式为
则使得 取最小值的 。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
先把式子写成单变量函数 ，再研究 的整数最小点。
解答
令
则 。对 ，
其中使用了 （）。故只需使 最小。 而
因为 ，故 先减后增，唯一最小点为
复核
差分在 时为负，在 时为正，排除了相邻整数并列最小的可能。
方法总结
含 的数列最值可先证明外层函数单调，再对内层作精确整数差分。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
须先证明t乘ln(1+1/t)递增，将原式最小化归约到n加1000/n，再用差分选择31与32附近的正确整数。
联系 · 2 条
易混 2021 年广西预赛 · P006975
整数参数的端点比较都应精确看相邻差，而不是只取连续驻点附近的一个整数。差分从负到正且中间没有零，会有唯一转折项；若某步差分恰为零，两个相邻整数都需保留。
一个直接求数列的最小项，另一个还要将整数端点的比较接回开区间并集；端点函数达到最小，不代表该开端点就是原函数取得的值。
已记下，谢谢！