2009 年陕西预赛 · 第 3 题

解答

单位圆切线可写为 $x\cos \theta +y\sin \theta =1$。它与两轴都有有限交点，故 $\sin \theta \cos \theta \ne 0$。两截距分别为 $1/\cos \theta$、$1/\sin \theta$，所以 $A{B}^2=1/{\cos }^2\theta +1/{\sin }^2\theta =4/{\sin }^2(2\theta )\ge 4$。当 $\theta =\pi /4$ 时两交点均存在且取等，因此 $\boxed{A{B}_{\min }=2}$。