2016 年湖北预赛 · 第 9 题

解答

设外接圆圆心为 $O$，半径为 $R$，弦 $MN$ 的中点为 $K$。由等边三角形外接圆半径公式，$R=2\sqrt{2}$，且 $KM=KN=2$。于是

其中用了 $\overrightarrow{MK}=\overrightarrow{KN}$。还须验证 $K=P$ 可以实现。 设 $D$ 为 $AB$ 的中点，则 $OD=\sqrt{2}<2<2\sqrt{2}=OA$。沿线段 $DA$，到 $O$ 的距离连续变化，故存在三角形边上的点 $K$ 满足 $OK=2$。 过此点作垂直于 $OK$ 的直线，与圆交于 $M,N$；其弦长为 $2\sqrt{R^2-O{K}^2}=4$。取 $P=K$ 即取等，故最大值为 $\boxed{4}$。