培玉 · 一试
2017 年安徽预赛 · 第 3 题
F3填空题平面几何综合
设圆内接四边形 的边长分别为 ，，，，则四边形 的面积是 。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
沿一条对角线分成两个三角形。
思路
圆内接使对角互补，两次余弦定理即可求夹角，面积再相加。
解答
令 ，则 。对角线AC的两种余弦表示为
所以 ，且 。两三角形面积相加，
复核
半周长为9，圆内接四边形面积公式另给S²=(9−3)(9−4)(9−5)(9−6)=360，与结果平方吻合。正弦取正值，因为B为非退化四边形的内角。
方法总结
圆内接四边形给边长时，对角互补可让两个余弦式只含一个参数；面积相加不用逐个求角。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
沿对角线分成两三角形，圆内接使对角互补，两次余弦定理只留一个角参数；面积相加时正弦取正支。
已记下，谢谢！