培玉 · 一试
2022 年全国高中数学联赛一试（A 卷） · 第 3 题
F1填空题概率
一枚不均匀的硬币，若随机抛掷它两次均得到正面的概率是均得到反面的概率的 倍，则随机抛掷它两次得到正面、反面各一次的概率为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
以一次投掷得到正面的概率为未知量，先由两次同面事件确定它，再计算两个互斥的异面次序。
解答
设一次投掷得到正面的概率为 ，则反面的概率为 。 由两次投掷独立及已知条件，
因为 ，开方得 ，故 。 正面、反面各一次包括“先正后反”和“先反后正”，故其概率为
复核
两个同面事件的概率为 与 ，加上异面概率 ，总和为 。
方法总结
重复投掷先以单次概率建模；“各一次”须计入不同出现次序，并检查所加事件互斥。
为什么评为 F1（会透露解法方向）
由两次正面概率直接开平方得到单次正面概率，再代入2p(1-p)，均为已知独立试验模型的直接运用。
已记下，谢谢！