易混 2026 年北京预赛 · P005962
两题都可先把椭圆伸缩为圆，再固定一条过指定点的弦，但三角形的第三个顶点受限不同。一题固定在圆心，另一题允许在圆周移动；因此同一弦的高度不能沿用同一个表达式，必须先处理第三顶点的选择。
外形都是过定点弦的三角形面积最值，真正改变优化函数的是第三顶点可否移动。
培玉 · 一试
2024 年内蒙古预赛
F3填空题椭圆
设 是原点，椭圆 ，直线 过 且与椭圆交于 两点，则 面积的最大值为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
用伸缩变换把椭圆化为单位圆。
思路
过定点的直线到圆心的距离有上界，三角形面积成为该距离的一元函数。
解答
令 ，则椭圆化为单位圆 ，面积按比例乘以 。水平线 所截弦与原点共线，面积为 。其余过 的直线可写为 ，在 平面中为
它到原点的距离为
单位圆中由该弦和圆心组成的三角形面积为 。该函数在 上递增，故原椭圆中面积最大值为
复核
时直线 ，确与椭圆交于两点，并取到最大值。
方法总结
椭圆弦面积问题常可通过仿射伸缩转为圆的弦心距问题，同时牢记面积要乘坐标变换的行列式绝对值。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
将椭圆伸缩为单位圆后，需要把过定点限制准确转为弦心距不超过1/2。
联系 · 2 条
垫脚石（此题 → 相关题） 2026 年浙江预赛 · P006171
先在便于计算的参数空间求面积或体积，再乘线性变换行列式的绝对值。平面伸缩示范了倍率校正，空间中换成非正交棱向量时，还须由夹角确定三维倍率。
二维把椭圆化为圆，三维把不正交向量盒化为普通参数长方体；变换都保留比例，却不保留原长度和角。
已记下，谢谢！