2023 年北京预赛

解答

由 $f(f(3))\ge 3$，实际上必须 $f(f(3))=3$。若 $f(3)=3$，则 $f(2)=1$ 时需 $f(1)=2$ 或三，共两种；$f(2)=2$ 或三时，$f(1)$ 各可任取三值，共八种。若 $f(3)=2$，则必须 $f(2)=3$，此时 $f(1)$ 任取，共三种。若 $f(3)=1$，则必须 $f(1)=3$；为使 $f(f(2))\ge 2$，$f(2)$ 只能是一或二，共两种。因此总数为 $\boxed{8+3+2=13}$。