同一骨架 2022 年甘肃预赛 · P006812
两题都可把固定条件下的向量模最值解释为到一条直线的距离。先沿直线取最短长度，消去一个自由方向，再对剩余输入或方向条件作判断；等号对应的最短向量必须回到原约束核验。
一个固定可能的零点后让系数在参数直线上变化，再优化该零点；另一个先归一化全称实参数，将最短距离翻译为夹角限制。
培玉 · 一试
2025 年浙江预赛
向量夹角的最小值
F3填空题向量的数量积与几何意义
设非零向量 满足对任意 ，都有
则 夹角的最小值为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
时条件自动成立；对 归一化后，问题就是一条直线到原点的最短距离。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
解答
令 ，并设两向量夹角为 。 对 ，将不等式除以 ，并令 ，得到
左边随 的最小值是单位向量 到直线 的距离，即 。故条件等价于
在 内满足该条件的最小角为
复核
时右边非正而左边非负； 时 可遍历全部实数，故归一化没有遗漏。
方法总结
“对任意两个实参数的向量模不等式”可先齐次归一化，再解释为点到一维子空间的距离条件。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
先将x>0时的不等式缩成单位向量到b方向直线的最短距离，再把全t条件转成sinθ≥2/3，x≤0自动满足。
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同一骨架 2021 年重庆预赛 · P006944
两题都把一个最值问题转成点到直线的最短距离，核心是将向量分成沿直线与垂直直线的两部分。先找到正交投影，再检查投影对应的参数是否允许，才能把直线距离当成原问题的最小值。
截面题的第三点被限制在一条棱上，垂足必须在线段内；向量题归一化后的参数可遍历全部实数，直线投影没有额外端点限制。
已记下，谢谢！