培玉 · 一试
一试训练题
F3填空题函数的值域
x、y≥0且x³+y³+3xy=1。求x²y的最大值。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
三次恒等式把非负曲线化成线段。
解答
x³+y³-1+3xy=(x+y-1)(x²+y²+1-xy+x+y)。后一因子等于(x-y)²+xy+x+y+1，严格正，所以x+y=1。于是x²y=x²(1-x)，x∈[0,1]，导数x(2-3x)，最大在x=2/3为4/27。 所求为 。
复核
因子严格正用于排除额外曲线分支；两边端点给0。
方法总结
三次恒等式把非负曲线化成线段。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
三次恒等式把非负曲线化成线段。
已记下，谢谢！