培玉 · 一试
2023 年北京预赛
F2填空题平面几何综合
如图，，，，，垂足分别为 。已知 ，，则 。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
按图中垂足的位置，比较两个直角三角形。
思路
等腰直角三角形的两条直角边经四分之一周旋转重合，因此它们在同一对正交方向上的投影长度互换。
解答
由图可知 在同一射线上，且 在 之间。三角形 与 都是直角三角形。因为 、，故 ；又 ，所以两直角三角形全等。对应得 、，从而
复核
可取 。此时 ，且两向量模长平方均为 ；两垂足距离与图中顺序也全部满足。题图所给的垂足顺序用于最后相减。
方法总结
等腰直角三角形配两条平行垂线时，可比较直角三角形或使用旋转后投影互换；相减还是相加由垂足位置决定。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
根据图中两垂足同向且A和B异侧，把等长垂直条件化为xy=24与平方差55即可求间距。
已记下，谢谢！