2013 年山西预赛 · 第 8 题

解答

两已知式平方相加，得到 $2+2\cos (\alpha -\beta )={\sin }^2\gamma +{\cos }^2\gamma =1$，所以 $\cos (\alpha -\beta )=-1/2$。令 $S=(\alpha +\beta )/2,D=(\alpha -\beta )/2$，则 $\cos 2D=-1/2$，${\cos }^{2}D=1/4$。由 $\cos \gamma =-(\cos \alpha +\cos \beta )$ 得 ${\cos }^2\gamma =4{\cos }^{2}S{\cos }^{2}D={\cos }^{2}S$。另一方面 ${\cos }^2\alpha +{\cos }^2\beta =1+\cos 2S\cos 2D=1-\frac{1}{2}\cos 2S$。三项相加为 $1-\frac{1}{2}\cos 2S+(1+\cos 2S)/2=\boxed{3/2}$。