2026 年中科大少年班入围考 · 第 6 题

解答

令 $t=x-2a$，则 $t\in [-a,2-a]$，$f=t^2+1$。所求条件等价于该闭区间上的平方值最大与最小之差为2。

若 $a\le 0$，区间全在非负半轴，差为

不合。若 $a\ge 2$，区间全在非正半轴，差为

也不合。 若 $0<a<2$，区间包含0，最小函数值为1，值域宽度为

因此需 $\max \{a,2-a\}=\sqrt{2}$，解得