一试训练题

解答

断言 $f^{(n)}(x)=\frac{x}{\sqrt{1+2n{x}^2}}$。$n=1$ 成立。设对 $n$ 成立，记 $y=f^{(n)}(x)$，则 $y^2=\frac{x^2}{1+2n{x}^2}$，从而 $1+2y^2=\frac{1+2(n+1)x^2}{1+2n{x}^2}$，故 $f(y)=\frac{y}{\sqrt{1+2y^2}}=\frac{x}{\sqrt{1+2(n+1)x^2}}$，归纳完成。取 $n=24,x=1$：$f^{(24)}(1)=\frac{1}{\sqrt{1+48}}=\boxed{\frac{1}{7}}$。