2018 年中科大少年班初试 · 第 7 题

解答

取 $A=(-1,0,0),B=(1,0,0),C=(0,1,0)$。第二个三角形在 $B$ 处直角且 $AB=BD=2$，可设 $D=(1,2\cos t,2\sin t)$。由 $C{D}^2=6-4\cos t=6$ 得 $D=(1,0,\pm 2)$。令 $P=(p,0,0)$，$-1\le p\le 1$，$Q=(u,1-u,\pm 2u)$，$0\le u\le 1$。距离平方为 $(p-u{)}^2+(1-u{)}^2+4u^2$。对每个 $u$，取 $p=u$ 均在线段内，故最小平方为 $5(u-1/5{)}^2+4/5$。取 $u=p=1/5$ 达到，所以 $\boxed{\min |PQ|=2\sqrt{5}/5}$。