同一骨架 2011 年山西预赛 第 10 题 · P010888
三个对边交点的共线性，可以压缩成循环有向分比的一次乘积检验。局部几何关系负责产生每个分比，循环后多数因子相消；若同时有共点命题，还要将塞瓦的边内正比与延长线的符号对应起来。
切线题的局部比值由弦切角相似得到，另一题的局部比值来自边上点与连接线求交；共线检验相同，产生分比的来源不同。
培玉 · 一试
2013 年山西预赛 · 第 9 题
F3解答题平面几何综合
如图，过 的三个顶点 各作其外接圆的切线，分别与相应顶点的对边所在直线相交于 。证明：三个交点 共线。
作答
这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。
解析
提示
切线与两条割线组成的相似关系给出对边分比的边长平方。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
三个平方比循环相乘消去，正好满足梅涅劳斯定理。
解答
设 。A处切线与BC交D，弦切角定理或切线割线相似给
例如可由三角形DAB、DCA相似直接得到。D在BC外部，故以有向线段记为 。循环同理，
三式相乘为−1，依梅涅劳斯定理，
复核
切线与一条过圆内两点的直线相交时，交点在两点线段外，所以三个有向分比均为负。题设三个有限交点存在，已排除某条切线平行对边而无交点的配置。
方法总结
三个切线与对边的交点共线，可先寻找切线割线相似产生的边平方比，再以有向梅涅劳斯统一符号。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
切线割线相似先产生边长平方的分比，循环相乘再用有向梅涅劳斯；外分符号和题设有限交点的存在性须保留。
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