2019 年中科大少年班初试 · 第 3 题

解答

由行列式，面积为 $S=|x+x^{-1/2}-1|/2$。令 $H(x)=x+x^{-1/2}$，导数 $1-1/(2x^{3/2})$ 在 $t=2^{-2/3}$ 处由负变正。此点属于 $[1/4,4]$，且 $H(t)=3/2^{2/3}>1$。故全区间绝对值中的量为正，面积最小值为 $\boxed{3/2^{5/3}-1/2}$。