2024 年江苏预赛

解答

(1) $D$ 在 $\angle ABC$ 的内角平分线上，又在 $\angle BAC$ 的外角平分线上，所以 $D$ 是 $△ABC$ 的 $B$ 旁心。旁心同时位于另一个顶点的外角平分线上，故 $CD$ 平分 $\angle ACB$ 的外角。

(2) 记

因为 $M$ 是不含 $A$ 的弧 $BC$ 的中点，

又 $CD$ 是 $C$ 点外角平分线，故

在四点 $B,C,T,M$ 所在的圆中，

于是由三角形 $DCM$ 的内角和，

另一方面，

且圆内接角给出 $\angle BMT=\angle BCT$。由 $D,M,T$ 共线，

而 $\angle BCD=90^{\circ }+\gamma /2$，故

因此 $△TBD\sim △TDC$，从而

即