2010 年黑龙江预赛 · 第 11 题

解答

以三条射线为正坐标轴，设 $P=(x,y,z)$。因题给 $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$ 是射线上的垂足，有 $x,y,z\ge 0$，且它们分别为 $(x,0,0),(0,y,0),(0,0,z)$。三个距离条件是 $y^2+z^2=3,x^2+z^2=4,x^2+y^2=5$，所以 $x=\sqrt{3},y=\sqrt{2},z=1$。所求四面体三边差的行列式绝对值为 $2xyz$，体积为 $xyz/3$，得到 $\boxed{\sqrt{6}/3}$，选 D。