2016 年辽宁预赛 · 第 12 题

解答

当 $k=1$ 时 $a_1=2>1$，排除。当 $k=2$ 时，依次有

故 $a_4=a_3+a_3^2/16>31/32+(31/32{)}^2/16=16833/16384>1$，也排除。 当 $k\ge 3$ 时，各项正，并且

累加得 $1/a_n>k-{\sum }_{j=1}^{n}1/j^2$。有限平方倒数和严格小于 $2$：对 $j\ge 2$ 用 $1/j^2<1/[j(j-1)]$ 裂项求和即可，$n=1$ 则直接核。于是 $1/a_n>k-2\ge 1$，从而所有 $a_n<1$。因此