2008 年天津预赛 · 第 8 题

解答

原式为 $z^{2008}(z+1)=-1$。若 $|z|=1$，则 $|z+1|=1$，平方后得 $2+2\Re z=1$，所以 $z=(-1\pm \sqrt{3}i)/2$。记这两个数为 $\omega ,{\omega }^2$，它们满足 ${\omega }^3=1,1+\omega +{\omega }^2=0$。因为 $2008\equiv 1,2009\equiv 2(\mathrm{mod}3)$，两数都满足原方程。因此所有单位模根之和为 $\boxed{-1}$。