2025 年福建预赛

思路

若 $D$ 为固定点 $P$ 到过定点 $G$ 的直线的垂足，则 $D$ 在以 $PG$ 为直径的圆上；即使垂足落在端点，也可由向量或距离恒等式验证同一结论。约去割线因子前须排除割点等于已知点或竖直斜率无定义。

想法从哪来：直径圆的圆心是两端点的中点，半径是两端距离的一半；先同时写出两者，而不是分别展开圆方程。抛物线定义让焦半径等于一个横坐标差，恰使圆心横坐标等于半径，说明圆已与纵轴相切。再与另一条竖线相切，就能直接确定直径，参数只剩一个简单方程，并由开区间排除多余根。 第二问用纵坐标作抛物线参数，过固定曲线点的割线斜率会约去已知参数因子。两条斜率的乘积条件化成端点参数和、积的关系，再由弦方程发现一个固定交点。既然变弦都过定点，另一固定点向它们作垂足，直角条件立即把垂足放到一个定圆上，圆心就是所求定距点。

第一问直接写出焦点、点 $P$ 与直径圆的圆心和半径，用圆到两条竖直直线的距离确定 $p$。 第二问用 $y$ 参数表示抛物线上的交点，斜率积条件迫使所有弦 $AB$ 通过一个定点； 垂足 $D$ 随即落在以两个定点为直径的圆上。