2015 年河北预赛 · 第 5 题

解答

$f(x)=x^3+3x$ 为奇函数且 $f^{\prime }(x)=3x^2+3>0$。所以 $f(mx-8)+f(2^x)<0$ 等价于 $mx-8<-2^x$，即 $mx+2^x<8$。因题设 $x>0$，左边对 $m$ 递增，故只需且必须有 $2x+2^x<8$。函数 $H(x)=2x+2^x$ 严格递增，且 $H(2)=8$，所以所求范围为 $\boxed{0<x<2}$。