培玉 · 一试
2025 年贵州预赛
正三棱锥体积平分面的线面角
F2填空题空间角与距离
在正三棱锥 中，，过 的平面 将其体积平分。 则棱 与平面 所成角的余弦值为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
过固定棱 的截面平分四面体体积，当且仅当它经过对棱 的中点。
思路
取空间坐标 后，用直线方向向量与平面法向量计算夹角。
解答
取
正三棱锥的顶点在底面中心正上方，故可写成
平面 与对棱 的交点必须是其中点 ，因为平面 两侧两个四面体 的体积之比等于 。于是
平面 的一个法向量为
而 的方向向量可取
由 、 以及 ，设直线与平面所成角为 ，则
所以
复核
且 均由坐标满足； 确为 中点。 直线与平面夹角取锐角，故余弦取正值。
方法总结
四面体中过一条棱的截面，其两侧体积比可转成对棱上的分点比。确定分点后，空间坐标 与法向量公式可稳定求出线面角。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
过公共棱的两个四面体等体积直接确定对棱中点，再按正三棱锥的标准坐标求截面法向量与线面角，属于常规模型衔接。
已记下，谢谢！