2018 年河南预赛 · 第 7 题

解答

过 $M=(a,0)$ 的直线写为 $M+s(\cos \theta ,\sin \theta )$。两有限交点要求 $\sin \theta \ne 0$，参数方程为 ${\sin }^2\theta s^2-4\cos \theta s-4a=0$。在表达式有定义时 $a\ne 0$，由韦达可得 $1/P{M}^2+1/Q{M}^2={\cos }^2\theta /a^2+{\sin }^2\theta /(2a)=1/a^2+(a-2){\sin }^2\theta /(2a^2)$。允许割线方向含一个非空开区间，因此它恒为常数当且仅当 $a-2=0$，故 $\boxed{a=2}$，常数为四分之一。