2014 年黑龙江预赛 · 第 11 题

解答

各项均为正，故

当 $p=1/2$ 时，$a_1=a_2=1/2$，所以不是严格递减数列，①错误。 当 $0<p<1/2$ 时，对每个 $n\ge 1$ 有 $p(n+1)/n\le 2p<1$，故数列严格递减，③正确。

对任意固定 $0<p<1$，数 $p/(1-p)$ 有限；超过它的所有正整数 $n$ 都使 $a_{n+1}<a_n$。 所以数列从某项起严格递减，最大项必在此前有限多项中取得，②错误。 若 $p/(1-p)=m$ 是正整数，则 $n<m$ 时相邻项比大于 $1$，$n=m$ 时等于 $1$，$n>m$ 时小于 $1$。 于是最大项恰为相等的 $a_m=a_{m+1}$；$m=1$ 时前面的递增段为空，结论仍成立。④正确。 因此正确命题是 $\boxed{\text{3◯4◯}}$，选 B。 这里“递减”按严格递减理解；①中的头两项相等不能忽略。