2009 年辽宁预赛 · 第 13 题

解答

（1）$f^{\prime \prime }(x)=-a/x^2>0$，故函数凸，所求中点不等式成立，等号在两输入相同时成立。（2）原式等价于 $a\ge H(x)=(x^2-2x)/[2(x-\ln x)]$，因为 $x-\ln x\ge 1>0$。有 $H^{\prime }(x)=(x-1)(x+2-2\ln x)/[2(x-\ln x{)}^2]\ge 0$ 在 $[1,e]$ 成立；后一个因子为正，例如由 $\ln x\le x-1$ 及 $e<3$ 即知。因此最大值在 $e$，所求为 $\boxed{a\ge e(e-2)/[2(e-1)]}$。