2017 年陕西预赛 · 第 8 题

解答

全部关系齐次，可令 $y=1$，记 $r=x/y\ge 1$，并将a、b同时除以原y。由 $r^2+b^2=1+a^2$ 得 $a^2=r^2-1+b^2\ge r^2-1$。将另一等式展开再消去a²，得 $2ra=r^2+b^2-2b\le r^2$，最后一步使用 $0\le b\le 1$。所以 $2r\sqrt{r^2-1}\le r^2$，r为正，平方化简得 $r^2\le 4/3$。取 $r=2/\sqrt{3},a=1/\sqrt{3},b=0$，符合全部约束，且三个平方和均为4/3。故最大值为 $\boxed{2\sqrt{3}/3}$，选 A。