一试训练题

解答

设 $f$ 在 $(0,+\infty )$ 严格递增（递减时同理）。由连续性，$f(0)={\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)<f(v)$ 对任意 $v>0$ 成立，再由偶性得 $f(u)=f(v)⟺|u|=|v|$。所以 $x=\frac{2x+1}{x+3}$ 或 $x=-\frac{2x+1}{x+3}$（$x\ne -3$）。前者化为 $x^2+x-1=0$，判别式 $5>0$，两根和 $-1$；后者化为 $x^2+5x+1=0$，判别式 $21>0$，两根和 $-5$。两方程若有公共根，相减得 $4x+2=0$，$x=-\frac{1}{2}$，但它不满足 $x^2+x-1=0$，故四根互不相同，且都不等于 $-3$。所有 $x$ 之和为 $-1-5=\boxed{-6}$。