2026 年北京预赛

思路

可逆线性变换保持直线与相交关系，面积乘以变换矩阵行列式的绝对值。单位圆中弦心距为 $d$ 的弦长是 $2\sqrt{1-d^2}$，圆周到该直线的最大距离为 $1+d$。

想法从哪来：椭圆上动三个点，直接写三个角参数会让面积式过长。面积对横纵缩放的变化很简单，先沿两轴缩放成单位圆，过定点的条件也仍然是过定点。圆上固定底弦以后，最大高显然由离底边最远的圆周点提供，因此第三个顶点可以先消去。 余下的弦既经过已知内点，又在圆上截出两个端点，它的长度和可取的最大高都只由弦心距决定。这样所有旋转自由度被压成一个非负变量。先由内点到圆心的距离限定这个变量的范围，再求单变量极值；最后乘回面积缩放系数并构造取等三角形，不能套用无过点限制的圆内接最大面积。

先用仿射变换把椭圆化为单位圆。固定圆内一点的过点弦后，三角形的最大高由圆上距弦最远的点给出， 于是只剩弦到圆心距离的单变量最值。