培玉 · 一试
2010 年黑龙江预赛 · 第 12 题
F3选择题平面几何综合
已知集合 ，，定义函数 且点 ，，。若 的内切圆圆心为 ，且 （），则满足条件的函数有（ ）.
- (A)
个
- (B)
个
- (C)
个
- (D)
个
作答
标准答案：A
解析
提示
向量条件说明内心落在从B出发的中线上；内心本来又在角平分线上，于是两邻边必须相等。
思路
最后剔除三点共线的函数。
解答
设K为AC中点。题设等式改写为
故B、D、K共线。BD为B角平分线，BK又是中线，角平分线定理给AB=BC。反过来，非退化等腰三角形AB=BC时，B、D、K共线，必存在实数λ满足原式。令f(1)=p、f(2)=q、f(3)=r，则
等边条件等价于p=r或p+r=2q；后一种使三点共线，不能形成有内切圆的三角形。因此必须且只需p=r、q≠p。p有4种、q有3种，函数总数
选择 。
复核
当p=r且q≠p时，三个点形成以B为顶点的等腰非退化三角形，内心不等于B，λ确可由同一直线上的两个位移确定。p=q=r同时属于共线情形，已排除。
方法总结
内心位于中线时，可转成角平分线定理的等边条件；离散函数计数必须排除无法定义内切圆的共线点组。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
向量条件先迫内心落在中线上，再与角平分线合用得到等腰；把边长相等翻译成离散函数值时，须排除共线点组。
已记下，谢谢！