2017 年黑龙江预赛 · 第 10 题

解答

与三视图一致可取底面顶点 $A=(-1,0,0),B=(1,0,0),C=(0,1,0)$，顶点 $S=(0,0,\sqrt{3})$。三角形 $ABC$ 的外心为原点，故球心为 $O=(0,0,t)$。等距 $OA=OS$ 给 $1+t^2=(\sqrt{3}-t{)}^2$，得 $t=1/\sqrt{3}$，从而 $R^2=4/3$，外接球面积为 $\boxed{16\pi /3}$，选 D。另可核该锥体积为 $\sqrt{3}/3$，表面积为 $1+\sqrt{3}+\sqrt{7}$，半径为 $2/\sqrt{3}$，其余选项均不符。