2017 年河北预赛 · 第 14 题

思路

根轴是两圆等幂点的直线；相交两圆的根轴就是公共弦所在直线。内切圆可由以切点为中心、正比等于半径比的位似互相映射。

想法从哪来：三线共点中有一条是两圆公共弦，先想到根轴：只要找出另外两条线的共同点，再证明它对两圆等幂。两圆都接触同一条直线，同时又与大圆内切，提示利用以各内切点为中心的位似。把小圆在公共切线上的接触点送到大圆上，两次位似所得点具有同一个法向方向，因而是同一点T；这自然解释了GD与HC为何相交。接下来不必求E、F坐标，直接比较T到两个小圆心的距离平方减半径平方，用两条内切距离关系相减消去共同项。要先明确采用题图中大圆包住小圆的构型及正位似方向。

找大圆上切线平行于梯形两底的点；两次内切位似使它落在两条待证直线上，再用等幂判断它是否在公共弦上。