2023 年江西预赛

解答

若 $m\le 0$，则任一根都须满足 $mx\ge 0$，从而 $m<0$ 时只能有 $x\le 0$ 的根，至多两个； $m=0$ 时仅有 $x=1,3$。故四根时必有 $m>0$。

在 $x\le 1$ 或 $x\ge 3$ 上，方程化为

因该二次式在 $x=1,3$ 处的值分别为 $-m,-3m$，而首项系数为正，故它恰有一根小于 $1$、一根大于 $3$。

在 $1<x<3$ 上，方程化为

记中段二次式为 $q(x)=x^2+(m-4)x+3$。它在 $1,3$ 处的值分别为 $m,3m$，均为正。 若中段有两个不同实根，则判别式 $(m-4{)}^2-12$ 必为正；两根都为正，其和 $4-m>0$，故 $0<m<4$。联立这两个必要条件，得到

反过来，在此范围内，顶点 $x_0=2-m/2$ 确实属于 $(1,3)$，且判别式为正，所以 $q(x_0)<0$。结合两端值为正及二次式开口向上，两个不同实根分别位于 $(1,x_0)$ 和 $(x_0,3)$。因此上述范围也充分。所以