2022 年全国高中数学联赛一试（A 卷） · 第 7 题

解答

记 $L=|AB|>0$。因为最小面积为 $1>0$，直线 $AB$ 与椭圆不相交；它也不可能是经过 $B$ 的竖直线 $x=0$，故可设

令 $P=(2\cos t,\sin t)$，则

记 $s=\sqrt{4k^2+1}$。表达式 $2k\cos t-\sin t$ 取遍 $[-s,s]$。 由于距离不为零，又 $3+s>0$，所以必须 $s<3$，且绝对值内恒为正。 由面积最值，

两式相加、相减，分别得到

故 $s=2$，$k^2=3/4$，从而