2025 年贵州预赛

思路

分别凸指固定另一个变量后，对当前变量为凸函数；在矩形上可逐变量推至边界顶点求最大值。向量三角不等式 $|u|+|v|\ge |u+v|$ 可以把两个根式整体估计，避免不相容的逐项等号。

想法从哪来：二倍角与四倍角混在根式里，先统一成二倍角余弦，原来的实变量就变成独立的两个闭区间变量。第三个被开方式再用平均与半差改写，能看出它始终非负，也提示对称位置可能是最值候选。 最大值先试逐项上界：前两项由变量绝对值控制，第三项对每个变量分别凸，故最大值可推到正方形顶点检查。最小值却不能分别求三项最小后相加，因为取等位置未必相同；将前两根式视为向量长度，用三角不等式合成只含平均值的下界，再让第三项控制半差。最后用一个一元平方不等式压住总和，并检查所有估计能在同一端点同时取等。

令 $p=\cos 2x,q=\cos 2y$，三处根式都化为二次型。最大值逐项估计；最小值则对前 两项使用平面向量三角不等式。