2026 年中科大少年班入围考 · 第 4 题

解答

若 $|A|=1$，则 $x=y=1$，所求为二。若 $|A|=2$，$x=y\ne 1$ 会使 $|B|=1$，不成立；所以一个数为一，另一个为 $t\ne 1$。由 $\{1,t\}=\{1,t,t^2\}$ 得 $t=0$ 或 $t=-1$，分别给出一或二。若 $|A|=3$，则 $x,y$ 都非零，且 $B$ 的三个元素也互异。两集合元素乘积相等给出 $xy=(xy{)}^3$，所以 $xy=\pm 1$。若 $xy=-1$，则 $-1\in A$，另一数必为一，与三元素矛盾。故 $xy=1$，并有 $\{x^2,y^2\}=\{x,y\}$。因 $x\ne 0,1$，不可能 $x^2=x$，只能 $x^2=y$，即 $x^3=1$ 且 $x\ne 1$。因此 $x,y$ 是两个非平凡三次单位根，所求为 $x+y=-1$。全部可能值为 $\boxed{\{-1,1,2\}}$。