2018 年辽宁预赛 · 第 2 题

解答

设 $x=u+vi$，其中 $u,v$ 为实数。原式的虚部为 $2auv=0$，因 $a\ne 0$，故 $u=0$ 或 $v=0$，所有根都在实轴或虚轴。设 $r=|x|\ge 0$：实轴上的半径满足

虚轴上的半径满足

当 $c\ne 0$ 时，两方程的根积分别为 $c/a$ 与 $-c/a$，符号相反。因此其中一个二次方程有且仅有一个正根，另一个至多有两个正根。共至多三个正半径，每个在相应轴上给出两个不同的根，所以至多六根。当 $c=0$ 时，两式都有 $r=0$；另两个候选半径为 $-b/a$ 与 $b/a$，至多一个为正，故连同原点至多三根，也未超过六根。因此选 $\boxed{\mathrm{C}}$。