培玉 · 一试

专题地图 › 向量的数量积与几何意义

2025 年上海预赛

向量投影条件下的折线长最小值

F3填空题向量的数量积与几何意义

设向量 $a, b$ 的夹角为 $θ$ ，且满足

∣ a ∣ = 5, cos θ = \frac{4}{5} .

若对任意实数 $λ$ ，均有

∣ b - λ a ∣ \geq ∣ b - a ∣,

则

∣ t b - a ∣ + ∣ t b - 2 a ∣ (t \in R)

的最小值为。

作答

分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。

解析

为什么评为 F3（会透露解法方向）

先由任意lambda的最小值条件确定投影，再转为动点到两个定点的距离和，用反射构造取等。

用到的方法（会透露解法方向）

核心工具：柯西不等式与投影、用平移、旋转、对称化简

专题卡：正交分解和投影：把向量拆成平行和垂直两部分、向量端点的轨迹：垂直是圆，距离和用反射