2025 年新疆预赛

思路

标准抛物线点 $(2t,t^2)$ 在参数 $t$ 处切线为 $y=tx-t^2$，两参数弦为 $y=(t+s)x/2-ts$。圆代入所得多项式的根带交点重数，使用根和时仍须单独检查不同点限制。

想法从哪来：直径圆与横轴相切先用圆心到轴距离等于半径，平方后就能得到端点轨迹；这一步要确认半径确实非零。第二问的轨迹是标准抛物线，采用参数点能让过固定点的弦条件变成两参数积固定。 圆过原点，代入抛物线参数后可约出一个零参数，余下三次式没有平方项，于是另外三个交点参数和为零。第四交点由此无需解高次方程便可确定，切线与原弦的交点只剩参数和一个变量。距离平方再换成参数和的平方，落到幂与倒数的均值不等式。但题设排除了重复交点，故求得极值参数后须回查它不使第四点与原点或两弦端重合。

第一问用圆心到 $x$ 轴的距离等于半径。第二问把抛物线参数化为 $(2t,t^2)$：过定点 $P$ 的弦给出两参数乘积，过原点的圆给出另三个非零交点参数之和，切线交点便只依赖一个实参数。