2026 年贵州预赛

解答

当 $n=1$ 时，只有一个区域，没有两个不同的相邻扇形，故有三种染法。 以下设 $n\ge 2$，扇形按圆周顺序排列。暂不要求最后一个与第一个异色，只要求相邻顺序上的颜色不同，路径染法有 $3\cdot 2^{n-1}$ 种。 记 $C_n$ 为首尾也异色的路径染法数，并在递推中记 $C_1=0$。末色等于首色的路径，删去末扇形后，前一个末色须异于首色，故其数目为 $C_{n-1}$。于是

由 $C_1=0$ 归纳得

因此按实际几何区域计数，答案为