2017 年山西预赛 · 第 11 题

解答

方程等价于

固定 $y,z$，若 $x$ 是一根，另一根就是 $x^{\prime }=3(y+z)-2-x$。因此 $F(x^{\prime },y,z)=0$；对称性允许把新三元组排列成 $(y,z,x^{\prime })$。 初始解为 $(1,1,1)$。若已有正整数解 $x\le y\le z$，则 $x^{\prime }$ 为整数，且

故 $(y,z,x^{\prime })$ 仍是按非降顺序排列的正整数解，其最大坐标严格超过旧的最大坐标。反复构造便产生无穷多个不同解。因此满足条件的正整数三元组有 $\boxed{\text{无穷多组}}$。