2026 年全国高中数学联赛一试（B 卷） · 第 7 题

解答

记 $N=10!$，公差为 $d=y-x$。因 $N>10$，$d\le 0$ 时不可能有一项等于 $N$。$d>0$ 时，该条件等价于 $d\mid N-x$；又 $1\le d\le 9$，每个这样的 $d$ 都整除 $10!$，所以等价于 $d\mid x$。

固定 $d$，还须满足 $1\le x\le 10-d$，故可取首项数为

$d=1,2,3,4,5$ 时分别有 $9,4,2,1,1$ 个，$d=6,7,8,9$ 时均无解。每个合法首项给出唯一的第二项，故有利数对共 $17$ 个。总数对为 $100$ 个，概率为 $\boxed{17/100}$。