2025 年山东预赛

解答

（1）在任一面中，三条边不能是 $1,1,2$。因此把长度为 $1$ 的棱看成四个顶点间的边后，它们只能构成若干个互不相交的完全图。排除六条棱全相等，非退化情形按同构只有三种：

第一种，三条单位棱组成一个等边底面，三条侧棱均为 $2$。底面外接圆半径为 $1/\sqrt{3}$，高为 $\sqrt{4-1/3}=\sqrt{11/3}$，所以

第二种，只有一条单位棱，其余五条棱均为 $2$。取边长为 $2$ 的等边三角形作底面，则顶点到底面三个顶点的距离为 $1,2,2$。用平面坐标求其投影可得高的平方为 $11/12$，底面积为 $\sqrt{3}$，故

第三种，两条单位棱互为对棱，其余四条棱均为 $2$。可把四个顶点写成

棱长条件给出

故 $x^2=7/8,y^2=z^2=1/8$。三个棱向量的行列式绝对值为 $16xyz$，于是

所以全部可能体积为

（2）设 $PA=PB=a$，而 $PC=AB=BC=CA=b$。在等边三角形 $ABC$ 中，令 $D$ 为 $AB$ 中点，则 $CD\perp AB$，且

平面 $PCD$ 垂直于底面 $ABC$，故四面体的高等于点 $P$ 到 $CD$ 的距离。由余弦定理，

所以高为

底面积为 $\sqrt{3}{b}^2/4$，因此

四面体非退化当且仅当根号内严格为正。令 $r=a/b$，结合 $0<r<1$，得