2015 年湖北预赛 · 第 12 题

解答

由 $T_1=a_1=1-a_1$ 得 $a_1=1/2$。对 $n\ge 2$，$T_n=T_{n-1}{a}_n$ 给出 $a_n=1/(2-a_{n-1})$，归纳得 $\boxed{a_n=n/(n+1),T_n=1/(n+1)}$。因此 $S_n={\sum }_{j=2}^{n+1}1/j^2$。下界用 $1/j^2>1/[j(j+1)]$，得 $S_n>1/2-1/(n+2)=a_{n+1}-1/2$。上界用 $1/j^2<1/(j^2-1/4)=1/(j-1/2)-1/(j+1/2)$，得 $S_n<2/3-1/(n+3/2)<2/3-1/(n+2)=a_{n+1}-1/3$。所以 $\boxed{a_{n+1}-1/2<S_n<a_{n+1}-1/3}$。