易混 2016 年天津预赛 第 9 题 · P009631
半周长与内切半径都可以转换成面积和切线段条件，但信息量要分清。补充一条指定边，能够固定某个顶点的切线长并约束半角；只给总体数据时，仍可能保留形状自由度，需要构造或排除角型。
一题要求在已知边的条件下求角函数，另一题判断总体数据是否足以保证角型；不能把一次可解的半角关系误当成三边已经唯一。
培玉 · 一试
2015 年天津预赛 · 第 6 题
F3选择题平面几何综合
设 的周长为 ，内切圆的半径为 ，则（ ）。
- (A)
必为直角三角形
- (B)
必为锐角三角形
- (C)
必为直角三角形或锐角三角形
- (D)
以上结论都不对
作答
标准答案：D
解析
提示
周长和内切半径固定并不能锁定三角形角型。
思路
只要构造一个满足数据的钝角三角形，就能同时否定前三项。
解答
取 为方程 的一根。这样的根存在，因为左端在1/3时为64/27<3，在1/2时为25/8>3。构造等腰三角形，三边为
它们满足严格三角不等式，周长为12，半周长s=6。海伦公式给
所以内切半径r=S/s=1。然而
其中利用了0<τ<1/2及该二次式在这段区间递减。故该三角形为钝角三角形，A、B、C项均不必成立，应选
复核
根的存在用连续性给出，并未把近似边长当作精确构造。S=6取正根，r=1；底边平方严格大于两腰平方和，钝角判定明确。
方法总结
“必为某种角型”的选择题应检查反例；周长、内切半径可通过半周长与海伦公式同时控制，再用最长边平方判角型。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
要否定三个必然角型，须构造同时满足周长和内切半径的精确钝角反例；利用连续性定参数、海伦面积及最长边平方判角型，综合性较强。
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